घातांक एवं करणी के 30 सबसे महत्वपूर्ण सवाल 🔥🔥

Indices and Surds Questions in Hindi

${(\frac {1} {2})}^{-2}\times {(\frac {1} {3})}^{-2}\times {(\frac {1} {4})}^{-2}$ बराबर है –

हल – ${(\frac {1} {2})}^{-2}\times {(\frac {1} {3})}^{-2}\times {(\frac {1} {4})}^{-2}$

${({2}^{-1})}^{-2}\times {({3}^{-1})}^{-2}\times {({4}^{-1})}^{-2}$

${2}^{2}\times {3}^{3}\times {4}^{2}=576$

2. ${[{\{ {(-\frac {1} {2})}^{2}\} }^{-2}]}^{-1}$ बराबर है –

हल- ${[{\{ {(-\frac {1} {2})}^{2}\} }^{-2}]}^{-1}$

$=\frac {1} {[{\{ {(-\frac {1} {2})}^{2}\} }^{-2}]}$

$=\, \frac {\frac {1} {1}} {{[{(-\frac {1} {2})}^{2}]}^{2}}={(-\frac {1} {2})}^{4}=\frac {1} {16}$

3. $-0.2,{(-0.2)}^{2},{(-0.2)}^{3}$ और ${(-0.2)}^{4}$ में से सबसे छोटा मान है –

हल – $-0.2,\, {(-0.2)}^{2}=0.04;\, {(-0.2)}^{3}\, =\, -0.008)$

तथा ${(-0.2)}^{4}=\, 0.0016$

$\because$ – चिन्ह के साथ जो संख्या सबसे बड़ी होती है वास्तव में वही सबसे छोटी होती है | अत: स्पष्ट है कि सबसे छोटी संख्या (-0.2) है |

4. ${(\frac {1} {2})}^{-\frac {1} {2}}$ बराबर है –

हल- ${(\frac {1} {2})}^{-\frac {1} {2}}=\frac {1} {{(\frac {1} {2})}^{\frac {1} {2}}}={(2)}^{\frac {1} {2}}=\sqrt {2}$

5. वह संख्या जिसे $(\sqrt {3}+\sqrt {2})$ के साथ गुणा करने पर $(\sqrt {12}+\sqrt {18})$ प्राप्त होता है –

हल – $\frac {\sqrt {12}+\sqrt {18}} {\sqrt {3}+\sqrt {2}}=\frac {2\sqrt {3}+3\sqrt {2}} {\sqrt {3}+\sqrt {2}}\times \frac {\sqrt {3}-\sqrt {2}} {\sqrt {3}-\sqrt {2}}$

(अंश और हर में $\sqrt {3}-\sqrt {2}$ से गुणा करने पर)

$=\, \frac {6-2\sqrt {6}+3\sqrt {6}-6} {{(\sqrt {3})}^{2}-{(\sqrt {2})}^{2}}=\frac {\sqrt {6}} {3-2}=\sqrt {6}$ 6. $(\sqrt {2}+\sqrt {7-2\sqrt {10}})$ बराबर होगा –

हल – $\sqrt {2}+\sqrt {7-2\sqrt {10}}$

$=\sqrt {2}+\sqrt {(\sqrt {{5)}^{2}}+({\sqrt {2)}}^{2}-2\sqrt {5\times 2}}$

$=\sqrt {2}+\sqrt {(\sqrt {5}-{\sqrt {2)}}^{2}}$

$=\sqrt {2}+\sqrt {5}-\sqrt {2}=\sqrt {5}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, hindinotes.org\, \, \, \, \, \, \, \,$

7. $3\sqrt {2,}\, 3\sqrt {7,}\, 6\sqrt {5,}\, 2\sqrt {20}$ संख्याओं में सबसे बड़ी संख्या कौन-सी है-

हल- $\because \, 3\sqrt {2}=\sqrt {18};\, \, 3\sqrt {7}=\sqrt {63}$

$6\sqrt {5}=\sqrt {180}$

$2\sqrt {20}=\sqrt {80}$

$=\, 3\sqrt {2}<3\sqrt {7}<2\sqrt {20}<6\sqrt {5}$

$\therefore$ सबसे बड़ी संख्या $=\, 6\sqrt {5}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, hindinotes.org$

8. $\sqrt[{6}] {3,}\, \sqrt {2,}\, \sqrt[{3}] {4,}\, \sqrt[{4}] {5}$ में से सबसे बड़ी संख्या कौन-सी है –

हल- $\sqrt[{{6}}] {3}={(3)}^{\frac {1} {6}}={({3}^{2})}^{\frac {1} {12}}={(9)}^{\frac {1} {12}}$

$\sqrt {2}={(3)}^{\frac {1} {2}}+{({2}^{6})}^{\frac {1} {12}}={(64)}^{\frac {1} {12}}$

$\sqrt[{3}] {4}={(4)}^{\frac {1} {3}}={({4}^{4})}^{\frac {1} {12}}={(256)}^{\frac {1} {12}}$

$\sqrt[{4}] {5}={(5)}^{\frac {1} {4}}={({5}^{3})}^{\frac {1} {12}}={(125)}^{\frac {1} {12}}$

$\therefore$ सबसे बड़ी संख्या $={(256)}^{\frac {1} {12}}=\sqrt[{3}] {4}\, \, \, \, \, \, \, \, hindinotes.org$

9. $\sqrt[{2}] {8,}\, \sqrt[{4}] {13,}\, \sqrt[{5}] {16,}\, \sqrt[{10}] {41}$ में से सबसे बड़ी संख्या कौन-सी है –

हल – $\because \sqrt[{2}] {8}={(8)}^{\frac {1} {2}}={({8}^{10})}^{\frac {1} {20}}={(1073741824)}^{\frac {1} {20}}$

$\sqrt[{4}] {13}={(13)}^{\frac {1} {4}}={({13}^{5})}^{\frac {1} {20}}={(371293)}^{\frac {1} {20}}$

$\sqrt[{5}] {16}={(16)}^{\frac {1} {5}}={({16}^{4})}^{\frac {1} {20}}={(65536)}^{\frac {1} {20}}$

$\sqrt[{10}] {41}={(41)}^{\frac {1} {10}}={({41}^{2})}^{\frac {1} {20}}={(1681)}^{\frac {1} {20}}$

$"={8}^{10}$

$\therefore$ सबसे बड़ी संख्या $=\sqrt[{2}] {8}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, hindinotes.org$

10. ${(256)}^{0.16}\times {(256)}^{0.09}$ का मान है –

हल – ${(256)}^{0.16}\times {(256)}^{0.09}={(256)}^{0.16}+0.09$

$={(256)}^{0.25}$

$={({2}^{8})}^{0.25}={2}^{2}=4\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, hindinotes.org$

11. $\sqrt[{4}] {3},\, \sqrt[{5}] {4},\, \sqrt[{10}] {12},\, 1$ में सबसे बड़ी संख्या कौन सी है –

हल – $\because \, \sqrt[{4}] {3},\, \sqrt[{5}] {4},\, \sqrt[{10}] {12},\, 1$

$=\, {({3}^{5})}^{1/20},{({4}^{4})}^{1/20},{({12}^{2})}^{1/20},{(1)}^{1/20}$

$=\, {243}^{1/20},{(256)}^{1/20},{(144)}^{1/20},{(1)}^{1/20}$

$\therefore$ सबसे बड़ी संख्या $=\sqrt[{5}] {4}$

12. यदि ${x}^{2}+{y}^{2}+2x+1=0$ है, तो ${x}^{31}+{y}^{35}$ का मान क्या होगा –

हल – हल करने पर, x= -1 व y= 0

$\therefore {x}^{31}+{y}^{35}={(-1)}^{31}{(0)}^{35}=-1$

13. $\frac {{(243)}^{\frac {n} {5}}\cdot {3}^{2n+1}} {{9}^{n}\cdot {3}^{n-1}}$ का मान है –

हल- $\frac {{(243)}^{\frac {n} {5}}\cdot {3}^{2n+1}} {{9}^{n}\cdot {3}^{n-1}}=\frac {{3}^{5\times \frac {n} {5}}\cdot {3}^{2n+1}} {{3}^{2n}\cdot {3}^{n-1}}$

$=\, {3}^{n+2n+1-2n-n+1}$

$=\, {3}^{2}=9$

14. ${(100)}^{1/2}\times {(0.001)}^{1/3}-{(0.0016)}^{1/4}\times {3}^{0}+{(\frac {5} {4})}^{-1}$ सरल करके मान बताइये –

हल – ${(100)}^{1/2}\times {(0.001)}^{1/3}-{(0.0016)}^{1/4}\times {3}^{0}+{(\frac {5} {4})}^{-1}$

$=\, {({10}^{2})}^{1/2}\times {({10}^{-3})}^{1/3}-{({0.2}^{4})}^{1/4}\times 1+\frac {4} {5}$

$=\, 10\times \frac {1} {10}-\frac {1} {5}+\frac {4} {5}$

$=\, 1-\frac {1} {5}+\frac {4} {5}=\frac {8} {5}=1.6$

15. ${(3+2\sqrt {2})}^{-3}+{(3-2\sqrt {2})}^{-2}$ का मान है –

हल – दिए गए व्यंजक $=\, {(\frac {1} {3+2\sqrt {2}})}^{3}+{(\frac {1} {3-2\sqrt {2}})}^{3}$

$=\, {(\frac {3-2\sqrt {2}} {9-8})}^{3}+{(\frac {3+2\sqrt {2}} {9-8})}^{3}$

$=\, [{3}^{3}-(2{\sqrt {2}}^{3}]-3\cdot 3\cdot 2\sqrt {2}(3-2\sqrt {2})$ $+[{3}^{3}+(2{\sqrt {2)}}^{3}]+3\cdot 3\cdot 2\, \sqrt {2}(3+2\sqrt {2})$ $=\, 27-54\sqrt {2}+72+27+54\sqrt {2}+72\, =198$

16. यदि ${3}^{x+8}={27}^{2x+1}$ तब x का मान है –

हल – ${3}^{x+8}={27}^{2x+1}$

${3}^{x+8}={3}^{6x+3}$

$x+8=6x+3$

$x=1$

17. $({16}^{3/2}+{16}^{-3/2})$ का सरलीकृत मान है –

हल – $({16}^{3/2}+{16}^{-3/2})$ $=\, {({4}^{2})}^{3/2}+{({4}^{2})}^{-3/2}$ $=\, {4}^{3}+{4}^{-3}$ $=\, 64+\frac {1} {64}=\frac {4097} {64}$

18. ${(256)}^{0.16}{(256)}^{0.09}$ का मान है –

हल – ${(256)}^{0.16}{(256)}^{0.09}$

$=\, {(256)}^{0.16+0.09}$ $=\, {(256)}^{0.25}$ $=\, {(256)}^{1/4}={({4}^{4})}^{1/4}=4$

19. ${(64)}^{-2/3}\times {(\frac {1} {4})}^{-2}$ का मान है –

हल- ${(64)}^{-2/3}\times {(\frac {1} {4})}^{-2}$ $=\, {({4}^{3})}^{-2/3}\times {({4}^{-1})}^{-2}$ $=\, {4}^{-2}\times {4}^{2}={4}^{0}=1$

20. ${(0.01024)}^{\frac {1} {5}}$ का मान ज्ञात कीजिए –

हल – ${(0.01024)}^{1/5}={(\frac {1024} {100000})}^{1/5}$ $=\, {[{(\frac {4} {10})}^{5}]}^{\frac {1} {5}}=\frac {4} {10}=0.4$

21. ${(36)}^{1/6}$ बराबर होगा –

हल – ${(36)}^{1/6}={({6}^{2})}^{1/6}={6}^{\frac {1} {3}}=\sqrt[{3}] {6}$

22. ${(\frac {8} {125})}^{-4/3}$ को सरलीकृत कीजिए –

हल – ${(\frac {8} {125})}^{-4/3}={\{ {(\frac {2} {5})}^{3}\} }^{-4/3}$ $=\, {(\frac {2} {5})}^{-4}={(\frac {5} {2})}^{4}=\frac {625} {16}$

23. ${[1-2{(1-2)}^{-1}]}^{-1}$ का मान बताइए –

हल – ${[1-2{(1-2)}^{-1}]}^{-1}={[1-2{(-1)}^{-1}]}^{-1}$ $={[1-2(\frac {1} {-1})]}^{-1}$ $=\, {[1+2]}^{-1}=\frac {1} {3}$

24. यदि ${27}^{2x-1}={(243)}^{3}$ तब x का मान है –

हल – ${27}^{2x-1}={(243)}^{3}$ ${({3}^{3})}^{2x-1}={({3}^{5})}^{3}$ $\therefore \, 6x-3=15$ या $6x=18\therefore \, x=\frac {18} {6}=3$

25. ${5}^{\frac {1} {2}},\, {5}^{\frac {1} {4}},\, {5}^{\frac {1} {8}}.....$ किसके बराबर है –

हल- माना $x={5}^{1/2}\cdot {5}^{1/4}\cdot {5}^{1/8}$

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर ${x}^{2}=5\cdot ({5}^{1/2}\cdot {5}^{1/4}\cdot {5}^{1/8})$ या ${x}^{2}=5x$

या ${x}^{2}-5x=0$

$x(x-5)=0$

$\therefore \, x=0$ जो संभव नहीं है

अत: $x-5=0\therefore x=5$

26. ${\{ {(-2)}^{(-2)}\} }^{(-2)}$ बराबर है –

हल – ${\{ {(-2)}^{(-2)}\} }^{(-2)}$

(जब किसी के घात के ऊपर घात होता है, तो घातों का आपस में गुणा हो है) $=\, {(-2)}^{(-2)\times (-2)}$

$=\, {(-2)}^{4}=16$

27. ${[{(\sqrt[{5}] {{x}^{-3/5}})}^{-5/3}]}^{-5}$ का सरलीकृत रूप है –

हल – ${[{(\sqrt[{5}] {{x}^{-3/5}})}^{-5/3}]}^{5}$

$={x}^{(-\frac {3} {5})\times \frac {1} {5}(-\frac {5} {3})\times 5}={x}^{1}=x$

28. ${(0.04)}^{-(1.5)}$ बराबर है –

हल – ${(0.04)}^{-(1.5)}=\frac {1} {{(0.04)}^{1.5}}=\frac {1000} {8}=125$

29. यदि ${(\frac {3} {5})}^{3}{(\frac {3} {5})}^{-6}={(\frac {3} {5})}^{2x-1}$ हो, तो x बराबर होगा –

हल- ${(\frac {3} {5})}^{3}{(\frac {3} {5})}^{-6}={(\frac {3} {5})}^{2x-1}$

या ${(\frac {3} {5})}^{3-6}={(\frac {3} {5})}^{2x-1}$ या $3-6=2x-1$ या $-3=2x-1$ या $2x=-2;\, x=-1$

30. निम्नलिखित संख्याओं ${(2.89)}^{0.5},\, 2-{(0.5)}^{2},\, 1+\frac {0.5} {1-\frac {1} {2}},\, \sqrt {3}$ में सबसे बड़ी संख्या है –

हल- ${(2.89)}^{0.5}={(2.89)}^{5/10}$ $=\, {(2.89)}^{1/2}=1.7$ $2-{(0.5)}^{2}=2-(0.25)=1.75$

$1+\frac {0.5} {1-\frac {1} {2}}=1+\frac {0.5} {\frac {1} {2}}=1+1.0=2$

तथा $\sqrt {3}=1.732$ अत: $1+\frac {0.5} {1-\frac {1} {2}}$ सबसे बड़ी संख्या है |

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